Utilize este identificador para referenciar este registo: http://hdl.handle.net/10400.19/2750
Título: Invólucros Reflectivos e Ortogonais
Outros títulos: Reflective and Orthogonal Hulls
Autor: da Costa e Sousa, Maria de Lurdes
Orientador: Adámek, Jirí
Sobral, Manuela
Palavras-chave: categoria
subcategoria reflectiva
invólucro reflectivo
invólucro ortogonal
category
reflective subcategory
reflective hull
orthogonal hull
Data de Defesa: 14-Fev-1997
Resumo: Um dos mais importantes e frutuosos conceitos em Teoria das Categorias é o de subcategoria reflectiva. Por um lado, toda a subcategoria plena de uma categoria X que seja reflectiva partilha muitas das propriedades mais significativas de X (tais como existência e construção de limites e colimites), por outro lado, é conhecido um considerável número de boas condições suficientes para que haja reflectividade. Para categorias plenas A de uma categoria X que não são reflectivas interessa determinar uma subcategoria plena de X que seja a menor de entre as que são reflectivas e contêm A, chamada invólucro reflectivo de A. Este é o tema central da presente dissertação. Duas questões se levantam: (1) Quando é que A tem um invólucro reflectivo? (2) Como pode ser construído o invólucro reflectivo de A, se ele existir? Para (2), um caminho possível é formar o invólucro para limites de A, i.e., a menor subcategoria plena de X fechada para limites e que contém A. Se este invólucro é reflectivo, ele é um invólucro reflectivo de A, mas a questão de determinar quando isto acontece tem-se revelado muito difícil. Portanto, nesta tese, optei por uma abordagem diferente baseada no conceito de ortogonalidade. Recordemos que um objecto A se diz ortogonal a um morfismo f:X-->Y se a aplicação hom(A,f):hom(Y,A--> hom(X,A) é uma bijecção. Para cada subcategoria plena A de uma categoria X, denotemos por Ort(A) a classe de todos os morfismos f da categoria X ortogonais a todos os objectos de A. É fácil concluir que se A é uma subcategoria reflectiva de X, então A pode ser reconstruída a partir de Ort(A) do seguinte modo: A é constituída por precisamente todos os objectos ortogonais a todos os morfismos em Ort(A). Geralmente, para uma subcategoria plena A, denotamos por O(A) o invólucro ortogonal de A, i.e., a subcategoria plena de todos os objectos ortogonais a todos os Ort A )-morfismos. Analogamente ao que acontece para o fecho para limites, quando a subcategoria O(A) é reflectiva, então ela é o invólucro reflectivo de A. Por conseguinte, o invólucro ortogonal é também um bom candidato a ser o invólucro reflectivo. Na verdade, muitos dos invólucros reflectivos de subcategorias não reflectivas ``do dia-a-dia" coincidem com o fecho para limites e, consequentemente, coincidem também com os respectivos invólucros ortogonais (visto que toda a subcategoria plena reflectiva é ortogonal). Contudo, o invólucro ortogonal pode ser simultaneamente reflectivo e diferente do fecho para limites. Por outro lado, é de salientar que para toda a categoria topológica com fibras pequenas sobre Set, o invólucro reflectivo de uma subcategoria, caso exista, coincide com o invólucro ortogonal, mas não necessariamente com o fecho para limites. Portanto, o invólucro ortogonal pode constituir uma melhor abordagem do invólucro reflectivo do que o fecho para limites. Assim, o conceito de ortogonalidade tem um lugar central nesta tese. A noção de ortogonalidade no sentido usado ao longo do presente estudo aparece já na literatura dos anos sessenta. Em 1972, D. Pumplun observou que esta noção determina uma correspondência de Galois que induz um ``operador de invólucro" que faz corresponder a cada subcategoria A de uma categoria X uma subcategoria - o invólucro ortogonal de A- que é uma boa aproximação do invólucro (mono)reflectivo de A em X e que tem grande parte das propriedades do invólucro (mono)reflectivo, mesmo se este não existir. Este conceito de ortogonalidade foi clarificado por P. J. Freyd e G. M. Kelly (1972) que apresentaram uma definição de ortogonalidade entre um morfismo e um objecto de uma dada categoria. Desde então até ao presente, o estudo desta noção, bem como o da sua relação com o conceito de reflectividade, tem-se desenvolvido. Nomeadamente, o chamado ``Problema da Subcategoria Ortogonal", ou seja o problema de quando é que uma subcategoria ortogonal é reflectiva, tem merecido a atenção de vários matemáticos. A nossa abordagem, em contraste com a de outros autores, parte de uma dada subcategoria plena ao invés de partir de uma dada classe de morfismos. Para além do `` Problema do Invólucro Reflectivo", investigamos também a relação deste com outros problemas tais como, por exemplo, a existência e caracterização do invólucro sólido de uma categoria concreta (Capítulo IV). Finalmente, a investigação feita sobre reflectividade e ortogonalidade conduzir-nos-á ao estudo de uma correspondente generalização sobre multi-reflectividade e multiortogonalidade (Capítulos V e VI).
ABSTRACT: One of the most important and fruitful concepts of Category Theory is that of reflective subcategory: On the one hand, a full subcategory of a category \X which is reflective shares a lot of convenient properties of \X (existence and construction of limits, existence of colimits, etc.), on the other hand, a number of good sufficient conditions on reflectivity are known. For full subcategories \A of a category \X which fail to be reflective it is interesting to study the smallest reflective subcategory of \X containing \A, called a reflective hull of \A. This is the aim of the present dissertation. We turn to the question of (1) When does \A have a reflective hull? and (2) How can his reflective hull, if it exists, be constructed? For (2), a possible way is to form a limit hull of \A, i.e., the smallest full subcategory of \X closed under limits and containing \A. If the latter category is reflective, it is a reflective hull of \A, but the question of when this happens turns out to be very difficult. In my thesis I therefore decided for a different approach based on the concept of orthogonality. Recall that an object A is said to be orthogonal to a morphism f:X-->Y provided that hom(A,-) turns f to an isomorphism. For every full subcategory \A of a category \X, let Ort(\A) denote the class of all morphisms f in \X orthogonal to all \A-objects. It is not difficult to see that if \A is a reflective subctegory of \X, then \A can be reconstructed from Ort(\A) as follows: \A consists of precisely all objects orthogonal to all morphisms of Ort(\A). For a general full subcategory \A, we denote by O(\A) the orthogonal hull of \A, i.e., the full subcategory of all objects orthogonal to all Ort(\A)-morphisms. Analogously to what happens to the limit-closure, whenever O(A) is reflective, it is the reflective hull of \A. So, the orthogonal hull is also a good approach to the reflective hull. Indeed, most of the known reflective hulls of everyday non-reflective subcategories coincide with the limit-closure and, consequently, they also coincide with the orthogonal hull (since every reflective subcategory is orthogonal). However, the orthogonal hull may be simultaneously reflective and different from the limit-closure. So, the orthogonal hull may be a better approach to the reflective hull than the limit-closure. Thus, orthogonality will be a central concept in this thesis. The notion of orthogonality in the sense we use along the present study was already used in some literature in the sixties. Subsequently, D. Pumplun (1972) observed that this notion determines a Galois correspondence which induces a ``hull operator" which assigns to each subcategory \A of a category \X a good approach to the (mono)reflective hull of \A in \X and which has most properties of the (mono)reflective hull, even if the latter does not exist. This concept of orthogonality was clarified by P. J. Freyd and G. M. Kelly (1972) who presented a definition of orthogonality between a morphism and an object of a given category. From then on, this notion and its role in the understanding of the concept of reflectivity were developed. Namely, the so-called ``Orthogonal Subcategory Problem", that is, the problem of when an orthogonal subcategory is reflective has taken the attention of several mathematicians. Our approach, in contrast to the other authors, is that we start with a given full subcategory, while they start with a given class of morphisms. Synopsis of the contents of the thesis: In Chapter I we begin a systematic study of the reflective hull of a full subcategory \A of a category \X by means of its orthogonal hull. The second chapter is devoted to the study of the orthogonal closure operator, a concept introduced by the author. By means of this closure operator, we obtain a characterization of the orthogogonal hull as the full subcategory of all strongly closed objects and a characterization of the class of morphisms to which \A is orthogonal as dense morphisms. Chapter III is devoted to a generalization of sober spaces to alfa-sober spaces by means of the orthogonal closure operator. Using alfa-sober spaces we show that the “lattice” of epireflective subcategories of Top0 of T0 topological spaces and continuous maps contains a well-ordered proper class. In Chapter IV we study conditions under which a concrete category is solid, exploring the relationship between the ``Orthogonal Subcategory Problem" and the existence and characterization of a solid hull of a concrete category. Finally, in Chapters V e VI, the investigation done on reflectivity and orthogonality in the first chapters is generalized to a corresponding study of multireflectivity and multiorthogonality.
URI: http://hdl.handle.net/10400.19/2750
Designação: Doutoramento em Matemática, especialização em Matemática Pura
Aparece nas colecções:ESTGV - DMAT - Teses de doutoramento (após aprovadas pelo júri)

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