ESTGV - DMAT - Teses de doutoramento (após aprovadas pelo júri)
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Browsing ESTGV - DMAT - Teses de doutoramento (após aprovadas pelo júri) by Author "da Costa e Sousa, Maria de Lurdes"
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- Invólucros Reflectivos e OrtogonaisPublication . da Costa e Sousa, Maria de Lurdes; Adámek, Jirí; Sobral, ManuelaUm dos mais importantes e frutuosos conceitos em Teoria das Categorias é o de subcategoria reflectiva. Por um lado, toda a subcategoria plena de uma categoria X que seja reflectiva partilha muitas das propriedades mais significativas de X (tais como existência e construção de limites e colimites), por outro lado, é conhecido um considerável número de boas condições suficientes para que haja reflectividade. Para categorias plenas A de uma categoria X que não são reflectivas interessa determinar uma subcategoria plena de X que seja a menor de entre as que são reflectivas e contêm A, chamada invólucro reflectivo de A. Este é o tema central da presente dissertação. Duas questões se levantam: (1) Quando é que A tem um invólucro reflectivo? (2) Como pode ser construído o invólucro reflectivo de A, se ele existir? Para (2), um caminho possível é formar o invólucro para limites de A, i.e., a menor subcategoria plena de X fechada para limites e que contém A. Se este invólucro é reflectivo, ele é um invólucro reflectivo de A, mas a questão de determinar quando isto acontece tem-se revelado muito difícil. Portanto, nesta tese, optei por uma abordagem diferente baseada no conceito de ortogonalidade. Recordemos que um objecto A se diz ortogonal a um morfismo f:X-->Y se a aplicação hom(A,f):hom(Y,A--> hom(X,A) é uma bijecção. Para cada subcategoria plena A de uma categoria X, denotemos por Ort(A) a classe de todos os morfismos f da categoria X ortogonais a todos os objectos de A. É fácil concluir que se A é uma subcategoria reflectiva de X, então A pode ser reconstruída a partir de Ort(A) do seguinte modo: A é constituída por precisamente todos os objectos ortogonais a todos os morfismos em Ort(A). Geralmente, para uma subcategoria plena A, denotamos por O(A) o invólucro ortogonal de A, i.e., a subcategoria plena de todos os objectos ortogonais a todos os Ort A )-morfismos. Analogamente ao que acontece para o fecho para limites, quando a subcategoria O(A) é reflectiva, então ela é o invólucro reflectivo de A. Por conseguinte, o invólucro ortogonal é também um bom candidato a ser o invólucro reflectivo. Na verdade, muitos dos invólucros reflectivos de subcategorias não reflectivas ``do dia-a-dia" coincidem com o fecho para limites e, consequentemente, coincidem também com os respectivos invólucros ortogonais (visto que toda a subcategoria plena reflectiva é ortogonal). Contudo, o invólucro ortogonal pode ser simultaneamente reflectivo e diferente do fecho para limites. Por outro lado, é de salientar que para toda a categoria topológica com fibras pequenas sobre Set, o invólucro reflectivo de uma subcategoria, caso exista, coincide com o invólucro ortogonal, mas não necessariamente com o fecho para limites. Portanto, o invólucro ortogonal pode constituir uma melhor abordagem do invólucro reflectivo do que o fecho para limites. Assim, o conceito de ortogonalidade tem um lugar central nesta tese. A noção de ortogonalidade no sentido usado ao longo do presente estudo aparece já na literatura dos anos sessenta. Em 1972, D. Pumplun observou que esta noção determina uma correspondência de Galois que induz um ``operador de invólucro" que faz corresponder a cada subcategoria A de uma categoria X uma subcategoria - o invólucro ortogonal de A- que é uma boa aproximação do invólucro (mono)reflectivo de A em X e que tem grande parte das propriedades do invólucro (mono)reflectivo, mesmo se este não existir. Este conceito de ortogonalidade foi clarificado por P. J. Freyd e G. M. Kelly (1972) que apresentaram uma definição de ortogonalidade entre um morfismo e um objecto de uma dada categoria. Desde então até ao presente, o estudo desta noção, bem como o da sua relação com o conceito de reflectividade, tem-se desenvolvido. Nomeadamente, o chamado ``Problema da Subcategoria Ortogonal", ou seja o problema de quando é que uma subcategoria ortogonal é reflectiva, tem merecido a atenção de vários matemáticos. A nossa abordagem, em contraste com a de outros autores, parte de uma dada subcategoria plena ao invés de partir de uma dada classe de morfismos. Para além do `` Problema do Invólucro Reflectivo", investigamos também a relação deste com outros problemas tais como, por exemplo, a existência e caracterização do invólucro sólido de uma categoria concreta (Capítulo IV). Finalmente, a investigação feita sobre reflectividade e ortogonalidade conduzir-nos-á ao estudo de uma correspondente generalização sobre multi-reflectividade e multiortogonalidade (Capítulos V e VI).