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Resultados assintóticos são inspiração e justificação de importantes aproximações usadas em modelação estatística, mesmo quando o intuito é analisar uma mão-cheia de dados. Há, de facto, situações em que a convergência é rápida, mas muitas outras são conhecidas em que a convergência é deveras lenta. Os estudos sobre velocidades de convergência são naturalmente uma parte essencial
do corpus das convergências estocásticas.
Ao teorema limite central, se o cerne da investigação não se situar nas questões de velocidade de convergência, basta existência de segundo momento (e mesmo esta exigência pode ser relaxada, usando o conceito de variação lenta de Karamata). Terceiro e quarto momentos - e portanto, indirectamente, assimetria e achatamento da população parente ---, por outro lado, são os instrumentos adequados para a abordagem inicial das questões de velocidade de convergência.
Reexpressando assimetria e achatamento em termos dos cumulantes de Thiele-Fisher, e retomando ideias implícitas nas expansões de Gram-Charlier e de Edgeworth, por um lado, e de Cornish-Fisher por outro, reencontramos outros instrumentos preciosos, tais como as transformadas de Esscher e distribuições conjugadas de Cramér-Kninchine, e as aproximações usando ponto de sela (que são a base de toda a área de small sample assymptotics); as expansões de Edgeworth diferidas (por vezes apodadas de (tilted Edgeworth expansions), são, de facto, o traço de união de todos estes resultados.
Por outro lado, aproximações excelentes são válidas em situações inesperadas, como demonstramos com o exemplo da estável de Lévy, que apesar de não ter sequer primeiro momento pode ser aproximada de forma muito adequada com aqueles instrumentos, que pareciam ter sido talhados para circunstâncias bem diversas.
A investigação de expansões de Edgeworth diferidas levou-nos naturalmente ao estudo de famílias exponenciais (e polinómios ortogonais associados), e particularmente às famílias naturais de Morris, com variância que é função quando muito quadrática do valor médio.
Por outro lado, o exemplo da Lévy levou-nos a concentrar algum esforço na aproximação por leis estáveis para somas, obtendo resultados parciais mais interessantes no caso de a distribuição parente estar no domínio de atracção standard.
Por outro lado, o recurso a tilting permite bons resultados na chamada zona de grandes desvios, e abre a perspectiva de a velocidade de convergência no teorema limite central melhorar de O(1/n1/2) para O(1/n), desde que se use devidamente a teoria de que Daniels foi pioneiro. Uma excursão pela teoria da informação, perspectivando resultados assintóticos como os que correspondem a entropia máxima em situações bem tipificadas, ajuda a compreender este progresso notável.
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Keywords
Teorema limite central Polinómios ortogonais Famílias exponenciais naturais Teoria de informação