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Apesar de já na Antiguidade Clássica se ter reconhecido a existência de grandezas incomensuráveis, não seria antes do século XIX que se estabeleceriam definições rigorosas do conceito de número irracional, sem recurso a intuições geométricas. O conceito mais geral de número real era apenas percebido intuitivamente e a sua existência apenas assegurada por considerações de natureza geométrica e algébrica.
A partir do início do século XIX surgiu uma preocupação crescente em colocar a Análise sobre bases aritméticas sólidas; reconhecia-se que a falta duma teoria dos números reais tornava incorrectas (ou, pelo menos, incompletas) as demonstrações de certos resultados. Desta forma, uma etapa importante do processo de aritmetização da Análise seria a elaboração duma teoria da recta real sobre fundações puramente aritméticas. Dos três nomes que devem referenciar-se neste contexto – Charles Méray, Karl Weierstrass e Richard Dedekind – destacaremos o de Weierstrass que, contrariamente aos outros dois, não se limitou a construir os reais a partir duma pressuposta construção dos racionais. Weierstrass parte da noção mais geral de número e das operações fundamentais da Aritmética; introduz inicialmente o conceito de número natural e, de seguida, o de número racional positivo; será então a partir de “agregados” destes números que obterá grandezas para além das racionais. Por esta razão, na teoria dos números reais de Weierstrass, não se podem dissociar as naturezas dos números naturais, racionais e reais. Weierstrass constrói a sua teoria de modo inteiramente analítico, dotando-a dum rigor muito característico de toda a sua obra matemática e elaborando a teoria dos números reais mais completa do século XIX.
Description
Resumo de comunicação no 17º Encontro do Seminário Nacional de História da Matemática, realizado no Museu de Ciência da Universidade de Lisboa, nos dias 25 e 26 de Junho de 2004
Keywords
Números reais Weierstrass