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Apesar de já na Antiguidade Clássica se ter reconhecido a existência de grandezas incomensuráveis, não seria antes do século XIX que se estabeleceriam definições rigorosas do conceito de número irracional sem recurso a intuições geométricas. O conceito mais geral de número real era apenas percebido intuitivamente e a sua existência apenas assegurada por considerações de natureza geométrica e algébrica.
A partir do início do século XIX surgiu uma preocupação crescente em colocar a Análise sobre bases aritméticas sólidas; reconhecia¬ se que a falta duma teoria dos números reais tornava incorrectas (ou, pelo menos, incompletas) as demonstrações de certos resultados. Desta forma, uma etapa importante do processo de aritmetização da Análise seria a elaboração duma teoria da recta real sobre fundações puramente aritméticas. São três os nomes que devem referenciar¬ se neste contexto – Charles Méray, Richard Dedekind e Karl Weierstrass.
Méray foi o primeiro a publicar uma teoria dos números irracionais. Mas a ambiguidade do conceito de variante, a partir do qual definia número incomensurável, tornou imprecisa a sua teoria, que não obteve o desejado reconhecimento entre a comunidade científica.
Para Dedekind, a forma “natural” de construir a noção de número irracional resultou da procura da essência da continuidade duma grandeza geométrica e da formulação que para ela encontrou. Introduzindo o importante conceito de corte, elaborou uma teoria que veio a gozar de aceitação e difusão universais.
Contrariamente aos outros dois, Weierstrass não se limitou a construir os reais a partir duma pressuposta construção dos racionais. Na sua teoria dos números reais, não se podem dissociar as naturezas dos números naturais, racionais e reais. Weierstrass construiu a sua teoria de modo inteiramente analítico, dotando¬ a do rigor característico de toda a sua obra matemática.
Muito embora as situações que motivaram Dedekind, Weierstrass ou Méray a elaborar coerentes teorias dos números irracionais tenham sido diferentes, todos eles ansiavam o mesmo: fornecer à análise bases sólidas sem quaisquer “empréstimos” da geometria. Mas pelo menos num ponto as suas teorias são semelhantes: em todas elas um número irracional é definido à custa de conjuntos de infinitos números racionais. E talvez seja nesta intervenção do infinito que se encontra a razão para que tivesse sido tão morosa uma formulação rigorosa do conceito de número irracional.
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Números reais Dedekind Weierstrass Méray