Departamento de Matemática (DMAT)
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- Functores SólidosPublication . Costa e Sousa, Maria de Lurdes; Sobral, ManuelaOs functores sólidos generalizam os functores de esquecimento usuais em Álgebra e Topologia mantendo muitas das suas propriedades comuns mais importantes. Eles dão também uma caracterização interna dos functores que se obtêm por restrição de functores topológicos a subcategorias reflectivas do seu domínio. No capítulo 1 definimos functor sólido, estudamos algumas das suas propriedades e estabelecemos relações com outros tipos de functores. No capítulo 2 estudamos ligações entre o conceito de totalidade e functores sólidos. O objectivo do capítulo 3 é o estudo das relações entre os functores sólidos e os monádicos dando especial ênfase à questão de saber quando é que um functor monádico é sólido.
- Orthogonality and closure operatorsPublication . Sousa, LurdesGiven a full and replete subcategory A of a category X, we present a new closure operator, which allows a characterization of the class of all morphisms to which A is orthogonal and of the orthogonal hull of A by means of density and closedness, respectively. Using this characterization, we obtain, inter alia, conditions under which the orthogonal hull coincides with the reflective hull of A. We also explore the relationship between the closure operator introduced here and the regular closure operator.
- Solid hulls of concrete categoriesPublication . Sousa, LurdesThis paper deals with the problem of the existence of solid hulls for concrete categories. Sufficient conditions are given for the existence of a solid hull of a concrete category. For concrete categories over Set with a small finally dense subcategory, we show that the existence of solid hulls is equivalent to Weak Vopenka's Principle.
- α-sober spaces via the orthogonal closure operatorPublication . Sousa, LurdesEach ordinal alpha equipped with the upper topology is a T0-space. It is well known that for alpha=2 the reflective hull of alpha in Top0 is the subcategory of sober spaces. Here, we define alpha-sober space for every ordinal alpha in such a way that the reflective hull of alpha in Top0 is the subcategory of alpha-sober spaces. Moreover, we obtain an order-preserving bijective correspondence between a proper class of ordinals and the corresponding (epi)reflective hulls. Our main tool is the concept of orthogonal closure operator, introduced by the authour in a previous paper.
- Convergência fraca do processo empíricoPublication . Henriques, Carla; Oliveira, PauloA convergência fraca de medidas de probabilidade em espaços de funções, tem sido objecto de estudo de muitos autores, como por exemplo Billingsley [3], Yu [23], Oliveira ([12] a [15]), Suquet ([12] a [15]), Parthasarathy [16], entre outros. O espaço C[0,1] das funções contínuas e o espaço D[0,1] das funções contínuas à direita e com limites à esquerda munido da topologia de Skorohod, são sem dúvida os mais utilizados para este estudo. No entanto, tanto um como outro apresentam algumas desvantagens: o espaço C[0,1] não permite o estudo da convergência de funções aleatórias com descontinuidades; o espaço D[0,1] não sendo um grupo topológico (e por isso não é também espaço vectorial), não permite a adição pontual de funções. Para além disso, uma condição importante para estabelecer a convergência fraca de uma sucessão de medidas de probabilidade, é a compacidade relativa desta sucessão, condição esta que é, muitas vezes, difícil de verificar nos espaços mencionados.
- Invólucros Reflectivos e OrtogonaisPublication . da Costa e Sousa, Maria de Lurdes; Adámek, Jirí; Sobral, ManuelaUm dos mais importantes e frutuosos conceitos em Teoria das Categorias é o de subcategoria reflectiva. Por um lado, toda a subcategoria plena de uma categoria X que seja reflectiva partilha muitas das propriedades mais significativas de X (tais como existência e construção de limites e colimites), por outro lado, é conhecido um considerável número de boas condições suficientes para que haja reflectividade. Para categorias plenas A de uma categoria X que não são reflectivas interessa determinar uma subcategoria plena de X que seja a menor de entre as que são reflectivas e contêm A, chamada invólucro reflectivo de A. Este é o tema central da presente dissertação. Duas questões se levantam: (1) Quando é que A tem um invólucro reflectivo? (2) Como pode ser construído o invólucro reflectivo de A, se ele existir? Para (2), um caminho possível é formar o invólucro para limites de A, i.e., a menor subcategoria plena de X fechada para limites e que contém A. Se este invólucro é reflectivo, ele é um invólucro reflectivo de A, mas a questão de determinar quando isto acontece tem-se revelado muito difícil. Portanto, nesta tese, optei por uma abordagem diferente baseada no conceito de ortogonalidade. Recordemos que um objecto A se diz ortogonal a um morfismo f:X-->Y se a aplicação hom(A,f):hom(Y,A--> hom(X,A) é uma bijecção. Para cada subcategoria plena A de uma categoria X, denotemos por Ort(A) a classe de todos os morfismos f da categoria X ortogonais a todos os objectos de A. É fácil concluir que se A é uma subcategoria reflectiva de X, então A pode ser reconstruída a partir de Ort(A) do seguinte modo: A é constituída por precisamente todos os objectos ortogonais a todos os morfismos em Ort(A). Geralmente, para uma subcategoria plena A, denotamos por O(A) o invólucro ortogonal de A, i.e., a subcategoria plena de todos os objectos ortogonais a todos os Ort A )-morfismos. Analogamente ao que acontece para o fecho para limites, quando a subcategoria O(A) é reflectiva, então ela é o invólucro reflectivo de A. Por conseguinte, o invólucro ortogonal é também um bom candidato a ser o invólucro reflectivo. Na verdade, muitos dos invólucros reflectivos de subcategorias não reflectivas ``do dia-a-dia" coincidem com o fecho para limites e, consequentemente, coincidem também com os respectivos invólucros ortogonais (visto que toda a subcategoria plena reflectiva é ortogonal). Contudo, o invólucro ortogonal pode ser simultaneamente reflectivo e diferente do fecho para limites. Por outro lado, é de salientar que para toda a categoria topológica com fibras pequenas sobre Set, o invólucro reflectivo de uma subcategoria, caso exista, coincide com o invólucro ortogonal, mas não necessariamente com o fecho para limites. Portanto, o invólucro ortogonal pode constituir uma melhor abordagem do invólucro reflectivo do que o fecho para limites. Assim, o conceito de ortogonalidade tem um lugar central nesta tese. A noção de ortogonalidade no sentido usado ao longo do presente estudo aparece já na literatura dos anos sessenta. Em 1972, D. Pumplun observou que esta noção determina uma correspondência de Galois que induz um ``operador de invólucro" que faz corresponder a cada subcategoria A de uma categoria X uma subcategoria - o invólucro ortogonal de A- que é uma boa aproximação do invólucro (mono)reflectivo de A em X e que tem grande parte das propriedades do invólucro (mono)reflectivo, mesmo se este não existir. Este conceito de ortogonalidade foi clarificado por P. J. Freyd e G. M. Kelly (1972) que apresentaram uma definição de ortogonalidade entre um morfismo e um objecto de uma dada categoria. Desde então até ao presente, o estudo desta noção, bem como o da sua relação com o conceito de reflectividade, tem-se desenvolvido. Nomeadamente, o chamado ``Problema da Subcategoria Ortogonal", ou seja o problema de quando é que uma subcategoria ortogonal é reflectiva, tem merecido a atenção de vários matemáticos. A nossa abordagem, em contraste com a de outros autores, parte de uma dada subcategoria plena ao invés de partir de uma dada classe de morfismos. Para além do `` Problema do Invólucro Reflectivo", investigamos também a relação deste com outros problemas tais como, por exemplo, a existência e caracterização do invólucro sólido de uma categoria concreta (Capítulo IV). Finalmente, a investigação feita sobre reflectividade e ortogonalidade conduzir-nos-á ao estudo de uma correspondente generalização sobre multi-reflectividade e multiortogonalidade (Capítulos V e VI).
- Note on multisolid categoriesPublication . Sousa, LurdesIt is shown that a cowellpowered concrete category (A,U) over a multicocomplete category is multisolid if and only if A is multicocmplete and U is a right multi-adjoint.
- Quem Foi Que? — Um Desafio à Estatística: Questões de Autoria em “Novas Cartas Portuguesas”Publication . Malva, Madalena; Pestana, DinisO problema da atribuição da autoria de textos quando os seus autores são desconhecidos, ainda que sobre eles recaiam algumas suspeitas, é um tema ainda pouco explorado na área da Estatística. O principal objectivo deste trabalho foi o de identificar e estudar algumas das variáveis associadas a problemas de autoria, tendo como objectivo último uma atribuição de autoria para os textos desconhecidos que foram estudados. Começou-se por identificar e quantificar as variáveis que pareciam mais adequadas para descriminar as autoras em estudo, utilizando para tal algumas técnicas de análise exploratória de dados. No final, e com base no estudo efectuado para cada uma das variáveis estudadas, tentou-se “arranjar” autores para os textos de autoria desconhecida. Como corpus de estudo utilizou-se o livro “Novas Cartas Portuguesas” de Maria Isabel Barreno, Maria Teresa Horta e Maria Velho da Costa.
- Calculadoras Gráficas na MatemáticaPublication . Duarte, Fernando; Duarte, Isabel; Dias, TeresaAlguns dos objectivos gerais do programa de Matemática do Ensino Secundário são: Interpretar fenómenos e resolver problemas recorrendo a funções e seus gráficos; Exprimir o mesmo conceito em diversas formas e linguagens; Analisar situações da vida real, identificando modelos matemáticos que permitam a sua interpretação e resolução; Formular generalizações a partir de experiências, estando em todos eles presente a dimensão gráfica, sendo por isso indispensável o uso da calculadora gráfica.
- Totality of product completionsPublication . Adámek, Jirí; Sousa, Lurdes; Tholen, WalterCategories whose Yoneda embedding has a left adjoint are kmown as total categories and are characterized by a strong cocompleteness property. We introduce the notion of multitotal category A by asking the Yoneda embedding A --> [A^{op}, Set] to be right multiadjoint and prove that this property is equivalent to totality of the formal ptoduct completiom of A. We also characterize multitotal categories with various types of generators; in particular, the existence of dense generators is inherited by the formal product completion iff measurable cardinals cannot be arbitrarily large.